题文
(本小题满分16分)数列
是递增的等比数列，且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
,求证数列
是等差数列;
(3)若
……
,求
的最大值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)等比数列{bn}的公比为
,
；(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)最大值是7.
解析
（1）根据韦达定理得到数列
的首项和第三项，进而得到其通项公式。
（2）在第一问的基础上，可知得到数列an的通项公式，运用定义证明。
（3）根据数列的前n项和得到数列的和式，求解m的范围。
解:(Ⅰ)由
知
是方程
的两根,
注意到
得
.……2分
得
.
等比数列{bn}的公比为
,
……………………6分
(Ⅱ)
…………9分
∵
数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列. …………………………11分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列,有
……
=
……
=
…………………………13分
∵
,整理得
,
解得
.
的最大值是7. …………16分.
点评：解决该试题的关键是根据韦达定理来求解得到数列bn的首项与第三项的值。进而得到数列的an的通项公式。进而根据前n项和得到数列的求和。
考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分16分)数列是递增的等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
