(本题满分12 分)已知数列为等比数列，且首项为，公比为，前项和为.试用，，表示前项和；证明(Ⅰ)中所写出的等比数列的前项和公式。

题文

(本题满分12 分)
已知数列

为等比数列，且首项为

，公比为

，前

项和为

.
（Ⅰ）试用

，

，

表示前

项和

；
（Ⅱ）证明(Ⅰ)中所写出的等比数列的前

项和公式。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析

解析

（Ⅰ）

                                           …4分
（Ⅱ）证明：当

时，

所以

；
当

时，

，（1）
所以

，（2）


得：

，所以


综上所述，

.                                                 …12分

项和公式及其公式的推导过程，考查学生的逻辑推理能力和论证能力.
点评：推导等比数列的前

项和公式的方法是“错位相减法”，这种方法在数列求和中经常用到，但是由于往往运算量比较大，很多学生出错，所以要多加练习，熟能生巧.

考点

据考高分专家说，试题“(本题满分12 分)已知数列为等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。