已知数列是公差不为零的等差数列，＝1，且，，成等比数列.求数列的通项公式;求数列{}的前n项和.

题文

（本小题满分14分）
已知数列

是公差不为零的等差数列，

＝1，且

，

，

成等比数列.
（Ⅰ）求数列

的通项公式;    （Ⅱ）求数列{

}的前n项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a_n＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)

=2+2²+2³+…+2ⁿ=

=2ⁿ⁺¹-2.

解析

（I）根据

，

，

成等比数列.可建立关于d的方程，求出d的值.从而得到

的通项公式;
(II)在（I）的基础上，可知

,因而可知此数列为等比数列，利用等比数列的前n项和公式求解即可.
（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a₁＝1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

＝

，解得d＝1，d＝0（舍去），   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
故{a_n}的通项a_n＝1+（n－1）×1＝n. ．．．７分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知

=2ⁿ，由等比数列前n项和公式得


=2+2²+2³+…+2ⁿ=

=2ⁿ⁺¹-2. ．．．．．．．１４分
点评：本小题用到等比数列前n项和公式:

.

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知数列是公差不为零.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。