已知数列满足，求证：数列为等比数列求数列的通项公式试问：数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出这三项；若不存

题文

（本小题满分1６分）
已知数列

满足

，
（1）求证：数列

为等比数列  （2）求数列

的通项公式
（3）试问：数列

中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1） ∵

，∴


所以

是以

为首项，2为公比的等比数列．．．．５分
（2）

．．．．．．．．．．．１０分
（3）

中不存在不同的三项

恰好成等差数列.

解析

(1)由

，得

,
根据等比数列的定义可知

是等比数列.
（2）在（1）的基础上，可求出


(3)解本小题的关键：假设数列

中存在不同的三项

恰好成等差数列，显然

是递增数列，然后可设

，则

即

，进而得到

,
然后再根据p,q,r取正整数值，并且还要从奇偶性判断是否存在.
（1） ∵

，∴


所以

是以

为首项，2为公比的等比数列．．．．５分
（2）

．．．．．．．．．．．１０分
（3）若数列

中存在不同的三项

恰好成等差数列，显然

是递增数列，不妨设

，则


即

，化简得：


……（*）．．．．．．．．．．．．．．．．１４分
由于

，且

，知

≥1，

≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数， 故数列

中不存在不同的三项

恰好成等差数列.．１６分
点评：等比数列的定义是判定一个数列是否是等比数列的依据，勿必理解掌握.对于探索性问题可先假设存在，然后根据条件探索存在应满足的条件，从而最终得出结论.

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分1６分）已知数列满足，（1）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。