数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，点在直线y=2x-3n上.若数列{an+c}成等比数列，求常数c的值；

题文

（本小题满分16分）数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N*)，点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上.
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)c=3； (2)

×

-3；(3)不存在。

解析

（Ⅰ）由“点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通项和前n项和关系可得a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比数列的定义，从而可确定c=3.
（Ⅱ）由（I）根据等比数列通项公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）先假设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列根据等差中项有2a_p=a_s+a_r，再用通项公式展开整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因为s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．
点评：数列与函数的综合运用，主要涉及了通项与前n项和的关系，构造等比数列，求通项，等差中项及数域问题．

考点

据考高分专家说，试题“ （本小题满分16分）数列{an}的前n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。