(本小题满分13分)已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且求证：数列是等比数列；求数列的前项和；设函数若对任意的都成立，求的取值范围。

题文

(本小题满分13分)
已知数列

的相邻两项

是关于

的方程

的两根，且


（1）求证：数列

是等比数列；
（2）求数列

的前

项和

；
（3）设函数

若

对任意的

都成立，求

的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ






。
（2）

；（3）t<1。

解析

（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ






 

（3分）
（2）S_n=a₁+a₂+……+a_n


（6分）
（3）b_n=a_n·a_n+1





∴当n为奇数时


     （9分）
当n为偶数时


（12分）
综上所述，t的取值范围为t<1                     （13分）
点评：若已知递推公式为

的形式求通项公式常用累加法。
注：①若

是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若

是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③

是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④

是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分13分)已知数列的相邻两项是.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。