已知数列{an}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{an}的前项和．(1) 若，求的值

题文

（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列{a_n}满足

，

(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，

为数列{a_n}的前

项和．
(1) 若

，求

的值；
(2) 求数列{a_n}的通项公式

；
(3) 当

时，数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）数列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差数列。

解析

(1) 令

，得到

，令

，得到

。…………2分
由

，计算得

．……………………………………………………4分
(2) 由题意

，可得：


，所以有




，又

，……………………5分
得到：

，故数列

从第二项起是等比数列。……………7分
又因为

，所以n≥2时，

……………………………8分
所以数列{a_n}的通项

…………………………………10分
(3) 因为

  所以

……………………………………11分
假设数列{a_n}中存在三项a_m、a_k、a_p成等差数列，
①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{a_n}单调递增，所以2a_k=a_m+a_p
即：2´(

)´4^k–2 =

´4^m–2 +

´4^p–2，化简得：2´4^{k - p}= 4^m–p+1
即2^2k–2p+1=2^2m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，
故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………14分
②假设存在成等差数列的三项中包含a₁时，
不妨设m=1，k>p≥2且a_k>a_p，所以2a_p = a₁+a_k ，
2´(

)´4^p–2 = –

 + (

)´4^k–2，所以2´4^p–2= –2+4^k–2，即2^2p–4 = 2^2k–5 – 1
因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………………………………………16分
因此，数列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差数列……………………………18分
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力及考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力．题目较难。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分18分，第1小题4分，第2小题.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。