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设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

高中数学题库更新时间：2026-04-11 10:23:15 发布时间：1664天前高中归档最新发布模块sitemap 名妆网法律咨询聚返吧英语巴士网伯小乐网商动力

题文

（本题满分12分）设数列

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

的前

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

项和为

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，满足

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

，且

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。
（Ⅰ）求

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

的值；
（Ⅱ）求数列

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的通项公式；
（Ⅲ）设数列

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的前

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

项和为

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

，且

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，证明：对一切正整数

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，都有：

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题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

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，

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；（Ⅱ）

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（Ⅲ）利用

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，推出

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。

解析

（Ⅰ）∵

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∴

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…………………………………4分
（Ⅱ）由

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得

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

检验知

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，

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

满足

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

∴

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变形可得

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∴数列

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

是以1为首项，1为公差的等差
解得

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

…………………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

代入得

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=

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

……………8分
∵

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

∴

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

∴

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

∴

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

即

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

∴

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

∴

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

…………………………………………………12分
点评：典型题，本题首先由

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

的故选，确定数列的通项公式是关键。不等式证明中运用了“放缩法”，本题较难。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）设数列的前项和为，满足.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1，则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1，则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较：

设数列的前项和为，满足，且。求的值；求数列的通项公式；设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。

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