等比数列满足，，数列满足求的通项公式；数列满足，为数列的前项和．求；是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不

题文

等比数列

满足

，

，数列

满足


（1）求

的通项公式；（5分）
（2）数列

满足

，

为数列

的前

项和．求

；（5分）
（3）是否存在正整数

，使得

成等比数列？若存在，求出所有

 的值；若不存在，请说明理由．（6分） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

 ；（2）

=

 
（3）当且仅当

，

时，

成等比数列。

解析

（1）解：

，所以公比

       2分


计算出

                                     3分


                                             4分


                                                  5分
（2）

                                6分
于是

   8分


=

                                                     10分
（3）假设否存在正整数

，使得

成等比数列，则


，                                      12分
可得

，          
由分子为正，解得

，                    
由

，得

，此时

，                
当且仅当

，

时，

成等比数列。             16分
说明：只有结论，

，

时，

成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分
点评：综合题，本题综合考查等比数列知识、数列的求和、不等式解法，对考查考生灵活运用数学知识的能力起到了很好的作用。

考点

据考高分专家说，试题“等比数列满足，，数列满足（1）求的通项公.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。