已知数列满足：求证：数列为等比数列；求证：数列为递增数列；若当且仅当的取值范围。

题文

已知数列

满足：


（1）求证：数列

为等比数列；
（2）求证：数列

为递增数列；
（3）若当且仅当

的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）




 ，

，

为首项，以

为公比的等比数列；
（II）

  

，

是单调递增数列；
（III）

。

解析

（I）




是等差数列
又




    2分








     5分
又




为首项，以

为公比的等比数列    6分
（II）





当


又

  




是单调递增数列      9分
（III）

时,




      10分
即

     12分


       13分
点评：典型题，本题在考查等差数列、等比数列基础知识的同时，有意给出递推关系，增大试题难度，同时通过前n项和最值的讨论，和不等式组解法结合在一起，具有一定综合性。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足：（1）求证：数列为等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。