题文
数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意
，总有
成等差数列．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列
的前
项和为
，且
，求证：对任意实数
（
是常数，
＝2．71828
）和任意正整数
，总有
2；
（3）正数数列
中，
．求数列
中的最大项。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
．（
） （2）见解析 （3）
解析
【错解分析】（1）对
的转化，要借助于
的关系。
（2）放缩法是此题的难点。
【正解】解：(1)由已知：对于
，总有
①成立
∴
（n≥2）②
①--②得
∴
∵
均为正数，∴
（n≥2）
∴数列
是公差为1的等差数列
又n=1时，
，解得
=1∴
．（
）
（2）证明：∵对任意实数
和任意正整数n，总有
≤
．
∴
（3）解：由已知
，
易得
猜想n≥2时，
是递减数列．令
∵当
∴在
内
为单调递减函数．
由
．
∴n≥2时，
是递减数列．即
是递减数列．
又
，∴数列
中的最大项为
．
考点
据考高分专家说，试题“数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
