数列中，，，数列是公比为的等比数列。求使成立的的取值范围；求数列的前项的和．

题文

数列

中，

，

，数列

是公比为

（

）的等比数列。
（Ⅰ）求使

成立的

的取值范围；（Ⅱ）求数列

的前

项的和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

      （Ⅱ）

解析

【错解分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列

是公比为

（

）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。
【正解】解：（I）∵数列

是公比为

的等比数列，∴

，

，由

得

，即

（

），解得

．
（II）由数列

是公比为

的等比数列，得

，这表明数列

的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是

，又

，

，∴当

时，








，
当

时，






．

考点

据考高分专家说，试题“数列中，，，数列是公比为（）的等比数列。.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。