已知各项均为正数的数列前项和为，首项为，且等差数列.求数列的通项公式；若，设，求数列的前项和.

题文

（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列

前

项和为

，首项为

，且

等差数列.
（1）求数列

的通项公式；
（2）若

，设

，求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

 (2)

解析

解：（1）由题意知

                     ………………1分
当

时，


当

时，


两式相减得

                        ………………3分
整理得：

                                        ……………………4分
∴数列

是以

为首项，2为公比的等比数列.


                             ……………………5分
（2）


∴

，                                          ……………………6分





 ①


 ②
①-②得

                ………………9分





.                               ………………………………11分


                                    …………………………………12分
点评：熟练的运用等差数列和等比数列的两个基本元素求解其通项公式，同时能结合错位相减法来求解数列的和，属于中档题。易错点是错位相减法的项数，以及表达式的计算。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知各项均为正数的数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。