在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．证明数列为等差数列，并求的通项公式；设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.

题文

（本小题满分12分）在数列

中，

，并且对于任意n∈N^*，都有

．
（1）证明数列

为等差数列，并求

的通项公式；
（2）设数列

的前n项和为

，求使得

的最小正整数

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

 (2) 91

解析

解：(1)

，因为

，所以

，
∴ 数列

是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

，从而

…………  ……………………………6分
(2) 因为

 
所以







 ，   
由

，
得

，
最小正整数

为91.………………………………………………12分
点评：对于已知等差数列和等比数列的通项公式的求解，主要是求解两个基本元素，解方程组得到结论。而对于一般的数列求和思想，主要是分析其通项公式的特点，选择是用错位相减法还是裂项法，还是倒序相加法等等的求和方法来得到。属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）在数列中，，并且对于.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。