数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3…)．求证：数列{}是等比数列．

题文

（本小题满分12分）
数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝

S_n(n＝1，2，3…)．
求证：数列{

}是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

{

}是以2为公比的等比数列．

解析

求证数列是否为等比数列，主要是看该数列的相邻两项的比值是否为定值，注意从第二项起来证明即可。证明：∵a_n＋1＝S_n＋1－S_n，a_n＋1＝

S_n，        3分
∴(n＋2)S_n＝n(S_n＋1－S_n)，整理得nS_n＋1＝2(n＋1) S_n，       6分
所以

＝

．又

        10分
故{

}是以2为公比的等比数列．        12分
点评：考查了等比数列的定义的运用，注意根据相邻项的比值为定值来得到结论，属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）数列{an}的前n项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。