已知数列的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意，满足关系. 证明：是等比数列；在正数数列中，设，求数列中的最大项.

题文

已知数列

的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意

，满足关系

.
（Ⅰ）证明：

是等比数列；
（Ⅱ）在正数数列

中，设

，求数列

中的最大项. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)根据数列的定义，只要证明从第二项起，每一项与前面一项的比值为定值即可。(2)

解析

（Ⅰ）证明：∵

 ①
∴

 ② 
②－①，得


∵

故数列

是等比数列
（1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．
（2）令

，∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）
∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．又lnc₁＜lnc₂，∴数列|lnc_n|中的最大项为lnc₂=


点评：该试题属于常规试题，主要是根据已知的关系式，变形为关于通项公式之间的递推关系，加以证明，属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的各项均为正数，Sn为其前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。