定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④。则其中是“保等比数列函数”的的序号为A

题文

定义在

上的函数

，如果对于任意给定的等比数列

仍是等比数列，则称

为“保等比数列函数”。现有定义在

上的如下函数：①

；②

；③

；④

。则其中是“保等比数列函数”的

的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④ 题型：未知 难度：其他题型

答案

C

解析

根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义

，逐

 一判断四个函数，即可得到结论．解：由等比数列性质知

，①当f（x）=x²时，f（

）f（

）=

 =（

）²=f²（

），故①正确；②当f（x）=2^x时，f（

）f（

）=

=f²（

），故②不正确；③当

时，f（

）f（

）=

 =f²（

），故③正确；④f（

）f（

）=ln|

|ln|

|≠ln|

|²=f²（

），故④不正确；故答案为：①③
点评：本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．

考点

据考高分专家说，试题“定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。