题文
已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝
⑴ 求{an}的通项公式；
⑵ 设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn
均成立，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) an＝2n－1(n∈N*)．(2) b≥
.
解析
(1) a1＝
，解得a1＝1.
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝
， -2
得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.
又因为an>0，所以an－an－1＝2.
因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
即an＝2n－1(n∈N*)． 6
(2) 因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)，
所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，
当且仅当
≤
对任意n∈N*均成立．
令Cn＝
，因为Cn＋1－Cn＝
－
＝
，
所以C1>C2，且当n≥2时，Cn
因此
≤C2＝
，即b≥
.
点评：中档题，涉及数列的不等式证明问题，往往需要先求和、再证明。本题（2）通过研究数列的“单调性”，利用“放缩法”，达到证明目的。
考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，前n项的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
