在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.

题文

在数列

中,

,且对任意的

都有

.
(1)求证:

是等比数列；
(2)若对任意的

都有

,求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取倒数，则可知

，陪凑变形来得到证明。
（2）

解析

解:（1）根据题意，由于

，

，故结合等比数列的定义可知满足题意，故可知

是等比数列。
(2)由(1)可得

,即

,

,
于是所求的问题:“对任意的

都有

成立”可以等价于问题:“对任意的

都有

成立”.
若记

,则

显然是单调递减的,故

.
所以,实数

的取值范围为

. 12分
点评：解决的关键是根据数列的递推关系，以及数列的单调性来求解，属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。