设数列的前项和为,满足,,且，，成等差数列.(1)求，的值;(2) 是等比数列(3)证明:对一切正整数,有.

题文

设数列

的前

项和为

,满足

,



,且

，

，

成等差数列.
(1)求

，

的值;
(2)

是等比数列
(3)证明:对一切正整数

,有

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）


（2）

，

是首项为3，公比为3的等比数列
（3）放缩法

.

解析

解：（1）


（2）由

得


相减得










是首项为3，公比为3的等比数列
（3）


因为

,所以

,所以

,于是

.
点评：基础题，首先利用

的关系，确定得到

的通项公式，进一步利用“放缩法”，将给定和式放大成为等比数列的和，得到证明不等式的目的。这一思想常常应用于涉及“和式”的不等式证明中。

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为,满足,,且，，成等差数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。