设各项均为正数的等比数列中，，.设.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：；

题文

设各项均为正数的等比数列

中，

，

.设

.
(1)求数列

的通项公式；   
(2)若

，

，求证：

； 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) b_n＝n. (2)“错位相减法”求和，“放缩法”证明。

解析

(1)设数列{a_n}的公比为q(q＞0)，
由题意有

，                       2分
∴a₁＝q＝2，                               4分
∴a_n＝2ⁿ， ∴b_n＝n.                             6分
(2)∵c₁＝1＜3，c_n＋1－c_n＝

，                        8分
当n≥2时，c_n＝(c_n－c_n－1)＋(c_n－1－c_n－2)＋…＋(c₂－c₁)＋c₁＝1＋

＋

＋…＋

，
∴

c_n＝

＋

＋

＋…＋

.                         10分
相减整理得：c_n＝1＋1＋

＋…＋

－

＝3－

＜3，
故c_n＜3.                                 12分
点评：中档题，本题综合考查等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。“分组求和法”、“错位相消法”、“裂项相消法”是高考常常考到数列求和方法。

考点

据考高分专家说，试题“设各项均为正数的等比数列中，，.设.(1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。