设数列的前项和为, 若,求; 若,证明是等差数列.

题文

设数列

的前

项和为

,


（ 1 ）若

,求

;
（ 2 ） 若

,证明

是等差数列. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

；(2)通过

  证得

是等差数列 。

解析

(1)

   




   

  
即

 

是公比为2的等比数列,且

3分


 

  



 5分
(2)

    ∴

.
即

       ∴

是等差数列   10分
点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本题首先利用

的关系，确定通项公式，明确了所研究数列的特征。证明数列是等差数列或等比数列，一般方法是利用定义，研究相邻两项的关系。

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为, （ 1 ）若,求; .....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。