设是正项数列，它的前项和满足：，则．

题文

设

是正项数列，它的前

项和

满足：

，则

        ． 题型：未知 难度：其他题型

答案

2011

解析

∵4S_n=（a_n－1）（a_n+3），∴4s_n-1=（a_n-1－1）（a_n-1+3），
两式相减得整理得：2a_n+2a_n-1=a_n²－a_n-1²，
∵{a_n}是正项数列，∴a_n－a_n-1=2，
∵4S_n=（a_n－1）（a_n+3），
令n=1得a₁=3，
∴a_n=2n+1，
∴a₁₀₀₅=2×1005+1=2011．
故答案为2011．

的关系，递推公式，等差数列的通项公式。
点评：中档题，当题目给定

的关系式时，往往需要写出另一相关式子，相减（加），进一步确定数列的相邻项关系，求得通项公式。

考点

据考高分专家说，试题“设是正项数列，它的前项和满足：，则．.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。