已知数列的前n项和．令，求证数列是等差数列；求数列的通项公式；令，。是否存在最小的正整数，使得对于都有恒成立，若存在，求出的值。

题文

已知数列

的前n项和

（n为正整数）．
（1）令

，求证数列

是等差数列；
（2）求数列

的通项公式；
（3）令

，

。是否存在最小的正整数

，使得对于

都有

恒成立，若存在，求出

的值。不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）利用通项公式和前n项和来结合定义来证明。
（2）


（3）

的最小值是4

解析

解：（1）在

中，令n=1，可得

，即


当

时，

，


.


.
又

数列

是首项和公差均为1的等差数列.     --5分
（2） 于是

.            --8分
(II)由（I）得

，所以






由①-②得

 


            12分


  


故

的最小值是4                                   14分
点评：解决的关键是等差数列的定义，以及错位相减法的运用，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前n项和（n为正整数）．（1）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。