已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正整数有：、、成等差数列．求证：数列成等比数列； 求数列的通项公式．

题文

已知数列

的首项为

，其前

项和为

，且对任意正整数

有：

、

、

成等差数列．
（1）求证：数列

成等比数列；
（2）求数列

的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

，当

时，

，所以

，
即

，又

，所以

成以4为首项、2为公比的等比数列（2）

解析

⑴因对任意

有

成等差数列，所以

         2分
又当

时，

，所以

，       4分
即

，又

，
所以

成以4为首项、2为公比的等比数列        6分
⑵由⑴得

，所以


当

时，


又

满足此式，所以

       12分
点评：证明数列是等比数列一般采用定义，即相邻两项的比值是常数，本题求通项用到了公式

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。