已知等比数列的首项，公比，数列前项的积记为.求使得取得最大值时的值；证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的

题文

已知等比数列

的首项

，公比

，数列

前

项的积记为

.
（1）求使得

取得最大值时

的值；
（2）证明

中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为

，证明:数列

为等比数列.
（参考数据

） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n=12
（2）根据题意，由于对

进行调整，

随n增大而减小，

奇数项均正，偶数项均负，那么对于n分为奇数和偶数来讨论得到证明。

解析

.解：
（1），

，

，

，
则当

时，

；当

时，

，


，又




的最大值是

中的较大者.

，


，因此当n=12时，

最大        .6分
（2）对

进行调整，

随n增大而减小，

奇数项均正，偶数项均负.
①当n是奇数时，调整为

.则

，

，

成等差数列；
②当n是偶数时，调整为

；则

，

，

成等差数列；
综上可知，

中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.
①n是奇数时，公差

；
②n是偶数时，公差

.
无论n是奇数还是偶数，都有

，则

，
因此，数列

是首项为

，公比为

的等比数列，

     12分
点评：主要是考查了数列的概念的运用，以及分类讨论思想的运用，属于难度题。

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列的首项，公比，数列前项的积记.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。