题文
已知数列
的前n项和为
，
，且
，数列
满足
，数列
的前n项和为
（其中
）．
（Ⅰ）求
和
；
（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
，
（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）∵
①
∴
(
) ②
①－②，得
，∴
，即
， 2分
∴
(
)，
满足上式，
故数列
的通项公式
(
)． 4分
， 5分
∴
． 6分
（Ⅱ）①当
为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，当且仅当
时取“=”，
． 8分
②当
为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
随
增大而增大，
时，
取得最小值
．
． 10分
综合①、②可得
的取值范围是
． 12分
点评：第一问求通项时主要应用了
，求和采用了列项相消的方法，此方法是数列求和题常用的方法；第二问当不等式恒成立时求参数范围的题目常将参数分离出来进而转化为求函数最值得题目
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前n项和为，，且，数列满足，数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
