已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若，Sn＝b1＋b2＋…＋b

题文

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂＋a₃＋a₄＝28，且a₃＋2是a₂，a₄的等差中项．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若

，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求使S_n＋n·2^n＋1＞50成立的正整数n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝2ⁿ.  （2）n的最小值为5.

解析

(1)解 设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q.依题意，有2(a₃＋2)＝a₂＋a₄，代入a₂＋a₃＋a₄＝28，可得a₃＝8，∴a₂＋a₄＝20，所以

解之得

或

又∵数列{a_n}单调递增，所以q＝2，a₁＝2，∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ.(2)因为b_n＝2ⁿlog

2ⁿ＝－n·2ⁿ，所以S_n＝－(1×2＋2×2²＋…＋n·2ⁿ)，2S_n＝－[1×2²＋2×2³＋…＋(n－1)·2ⁿ＋n·2^n＋1]，两式相减，得
S_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝2^n＋1－2－n·2^n＋1.要使S_n＋n·2^n＋1＞50，即2^n＋1－2＞50，即2^n＋1≥52.
易知：当n≤4时，2^n＋1≤2⁵＝32＜52；当n≥5时，2^n＋1≥2⁶＝64＞52.故使S_n＋n·2^n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.
点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“已知单调递增的等比数列{an}满足：a2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。