在正项等比数列中，, .(1) 求数列的通项公式;　　(2) 记,求数列的前n项和;(3) 记对于中的，不等式对一切正整数n及任意实数恒成立，求实数m的取

题文

在正项等比数列

中，

,

.
(1) 求数列

的通项公式

;
(2) 记

,求数列

的前n项和

;
(3) 记

对于（2）中的

，不等式

对一切正整数n及任意实数

恒成立，求实数m的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）


（2）


（3）

解析

解：(1).

，解得

 或

(舍去)




  2分 


  3分  (

没有舍去的得2分)
（2）



，  5分


数列

是首项

公差

的等差数列


       7分
(3)解法1：由（2）知，

，
当n=1时，

取得最小值

  8分
要使对一切正整数n及任意实数

有

恒成立，
即


即对任意实数

，

恒成立，


,
所以

 ,
故

得取值范围是

  10分
解法2：由题意得：

对一切正整数n及任意实数

恒成立，
即


因为

时，

有最小值3，
所以

 ,
故

得取值范围是

  10分
点评：主要是以等比数列为背景来求解通项公式和求和，以及不等式的恒成立问题来求解参数的范围，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“在正项等比数列中，, .(1) 求数列的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。