已知数列、满足：.(1)求；(2) 证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；(3)设，求实数为何值时恒成立。

题文

已知数列

、

满足：

.
(1)求

；
(2) 证明数列

为等差数列，并求数列

和

的通项公式；
(3)设

，求实数

为何值时

恒成立。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1) 

；
（2）

；
(3)

≤1时，

恒成立 。

解析

（1) ∵

     ∴

. 4分
（2）∵


∴

，


∴


∴数列{

}是以4为首项，1为公差的等差数列           6分
∴

  


  ∴

      8分
(3)  


∴


∴

          10分
由条件可知

恒成立即可满足条件
设


当

时，

恒成立,
当

时，由二次函数的性质知不可能成立
当

时，对称轴

         12分


在

为单调递减函数．



∴

    ∴

时

恒成立           13分
综上知：

≤1时，

恒成立                14分
点评：难题，本题综合性较强，综合考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，裂项相消法，数列不等式的证明。确定等差数列的通项公式，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组，以达到解题目的。本题从递推公式出发，研究“倒数数列”的特征，达到解题目的。涉及数列和的不等式证明问题，往往先求和、再放缩、得证明。本题通过构造函数、研究函数的最值，达到证明目的。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列、满足：.(1)求；(2) 证明.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。