在等差数列中，公差d >0，是方程的两个根，是数列的前n项的和，那么满足条件>0的最小自然数n＝A．4018B．4017 C．2009D．201

题文

在等差数列

中，公差d >0，

是方程

的两个根，

是数列

的前n项的和，那么满足条件

>0的最小自然数n＝（ ）A．4018B．4017 C．2009D．2010 题型：未知 难度：其他题型

答案

Ａ

解析

由a₂₀₀₉，a₂₀₁₀是方程 x²-3x-5=0 的两个根，知a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=3，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-5，a₂₀₀₉，a₂₀₁₀符号相反，由d＞0，知a₂₀₀₉＜0，a₂₀₁₀＞0，且|a₂₀₀₉|＜|a₂₀₁₀|，由此能求出满足条件Sn>0的最大自然数n．解：∵a₂₀₀₉，a₂₀₁₀是方程 x²-3x-5=0 的两个根，∴a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=3，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-5，∴a₂₀₀₉，a₂₀₁₀符号相反，∵d＞0，∴a₂₀₀₉＜0，a₂₀₁₀＞0，且|a₂₀₀₉|＜|a₂₀₁₀|，∴S_{（2009×2）}=S₄₀₁₈=

 ×(a₂₀₀₉+a₂₀₁₀)=3×2009＞0， S_{（2009×2-1）}=S₄₀₁₇=

(a₂₀₀₉+a₂₀₀₉)=a₂₀₀₉×4017＜0，所以S_n>0的最大n=4018．故选A．
点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列中，公差d >0，是方程.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。