已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项求数列的通项公式；令求证：是等比数列并求通项公式 令，，求数列的前n项和

题文

已知各项均为正数的数列

中，

是数列

的前

项和，对任意

，有

.函数

，数列

的首项





（Ⅰ）求数列

的通项公式；（Ⅱ）令

求证：

是等比数列并求

通项公式
（Ⅲ）令

，

，求数列

的前n项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

;（Ⅱ）

 ;（Ⅲ）



.

解析

（Ⅰ）由

        ①
得

        ②           1分
由②—①，得  


即：

                  2分


由于数列

各项均为正数，


                                  3分
即 



数列

是首项为

，公差为

的等差数列，


数列

的通项公式是  

          4分
（Ⅱ）由

知

，
所以

，                        5分
有

，即

， 6分
而

，
故

是以

为首项，公比为2的等比数列.                  7分
所以

                                              8分
（Ⅲ）

，                 9分
所以数列

的前n项和

 


错位相减可得



                         12分
点评：中档题，确定数列通项公式，往往利用已知条件，建立相关“元素”的方程组，达到解题目的。 本题利用前n项和与提醒的关系，确定数列的通项公式，也是较为常见的题型。“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”是高考常常考查的数列求和方法。本题对运算能力要求较高。

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。