已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2

题文

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项

，

…的最小值记为B_n，d_n=A_n－B_n.
(1)若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，

)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
(2)设d为非负整数，证明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；
(3)证明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

，

. (2)见解析 (3)见解析

解析

充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件，需要充分性和必要性两个方面叙述.
(1)

，

.
(2)充分性：因为

是公差为

的等差数列，且

，所以

，
因此

，

.
必要性：因为

，所以

.
又因为

，所以

.
于是

.
因此，

，即

是公差为

的等差数列.
(3)因为a₁=2，d_n=1，所以

，

，
故对任意

，

.
假设



，中存在大于2的项，
设m为满足

的的最小正整数，
则

，并且对任意

，
又因为a₁=2，所以

，且

.
于是

.
故

，与

矛盾.
所以对于任意

，都有

，即非负整数数列

的各项只能为1或2,.
因为对任意

，

，
所以

.
故


因此，对于任意正整数

，存在

满足

，且

，即数列{a_n}有无穷多项为1.
【考点定位】本题考查了数列的周期性，等差数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.本题是一个信息题，考查了学生对知识的迁移能力.

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。