设数列的前项和为，点在直线上，．证明数列为等比数列，并求出其通项；设，记，求数列的前和．

题文

设数列

的前

项和为

，点

在直线

上，

．（1）证明数列

为等比数列，并求出其通项；（2）设

，记

，求数列

的前

和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明略，

；（2）

.

解析

（1）要证明数列是等比数列，只需证明数列中的项后一项除以前一项是常数；（2）先利用已知条件把

的通项公式找到，再利用错位相减法求出

.
试题解析：（1）∵

             1分
∴

时，

∴

      2分


时，

，

         3分
两式相减得：

，

，   5分
∴

是以

为首项，

为公比的等比数列.       6分
∴

                7分
（2）

，则

，    9分


①


②       10分
①-②得：

     11分


      13分
∴

  14分.

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，点在直线上，．（1）证.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。