已知数列中，，.证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；记，求数列的前项和.

题文

已知数列

中，

，

.
（1）证明数列

是等比数列，并求数列

的通项公式；
（2）记

，求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明过程详见解析，

；（2）

.

解析

本题主要考查数列的通项公式和数列的求和问题.考查学生的分析问题解决问题的能力.第一问，属于配凑法，凑出等比数列，求通项公式；第二问，先用

表达式和已知联立，化简

，使表达式中出现减号，再累加求和，代入上一问的结果即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知：

，

，
∴

；
又

，∴数列

是以

为首项，2为公比的等比数列．     4分
∴

，即

；      6分
∴数列

的通项公式为

；       7分
（Ⅱ）由

两边同取倒数可知，

，即

，
所以


或

=


＝

；       10分
∴

＝

=

．    13分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列中，，.（1）证明数列是等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。