题文
已知数列
的前
项和
满足：
（
为常数，且
）．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，若数列
为等比数列，求
的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设
，数列
的前
项和为
,求证：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
；（3）证明过程详见解析.
解析
本题主要考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题的能力以及推理论证的能力.第一问，是由
求
；第二问，先把第一问的结论代入，整理出
表达式，已知
为等比数列，所以用数列的前3项的关系列式求
；第三问，把第二问的结果代入，化简
表达式，本问应用了放缩法和分组求和的方法.
试题解析：（1）
∴
当
时，
，即
是等比数列． ∴
； 4分
（2）由（Ⅰ）知，
，若
为等比数列，
则有
而
故
，解得
， 7分
再将
代入得
成立， 所以
． 8分
（3）证明：由（Ⅱ）知
，所以
， 9分
由
得
所以
， 12分
从而
．
即
． 14分
求
；2.等比数列的通项公式；3.等比中项；4.放缩法；5.分组求和.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和满足：（为常数，且）．（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
