在数列中，已知，.求、并判断能否为等差或等比数列；令，求证：为等比数列；求数列的前n项和.

题文

在数列

中，已知

，

.
（1）求

、

并判断

能否为等差或等比数列；
（2）令

，求证：

为等比数列；
（3）求数列

的前n项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

既不是等差数列也不是等比数列；（2）详见试题解析；（3）

．

解析

（1）分别令

可得

由等差数列及等比数列定义可得

不是等差数列也不是等比数列；（2）详见试题解析；（3）在（2）的基础上先求

，在求

得数列

的前

项和

的表达式，最后根据

的表达式的结构特征利用错位相减法求

．
试题解析：（1）解：分别令

得

不是等差数列也不是等比数列．                                    ４分
（2）

是等比数列．        ８分
（3）由（2）知：

．
令

，则


，两式相减得





．                            13分

项和的求法．

考点

据考高分专家说，试题“在数列中，已知，.（1）求、并判断能否为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。