已知等比数列满足．求数列的通项公式；在与之间插入个数连同与按原顺序组成一个公差为的等差数列．①设，求数列的前和；②在数列中是否存在三项（其中成等

题文

已知等比数列

满足

．
（1）求数列

的通项公式；
（2）在

与

之间插入

个数连同

与

按原顺序组成一个公差为

（

）的等差数列．
①设

，求数列

的前

和

；
②在数列

中是否存在三项

（其中

成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

 （1）

；（2）①

②不存在.

解析

（1）要看清问题的实质就是

，那么这就是我们熟悉的问题，利用

，转化为

和公比

的式子，可解出

，再由题目条件得出关于首项的关系式，求出等比数列的首项即可求出通项公式；（2）①由新数列的的首首项和末项及项数可求出公差

，根据其表达式的结构特征，再考虑求

，本题可用错位相减法；②此类问题，一般先假设存在符合条件的数列，解出来则存在，如果得到矛盾的结果，则假设错误，这样的数列则不存在.
试题解析：（1）设数列

的公比为

，由已知可得

，                1分
由已知，

，所以

，
两式相减得，

，解得

，                       3分
又

，解得

，                                    5分
故

                                                      6分
（2）由（1），知

   7分
①

，        8分


，


    10分
故

                                                 11分
②假设在数列

中存在三项

（其中

成等差数列）成等比数列，
则

，即

．                         13分
因为

成等差数列，所以

，（*）代入上式得：

，（**）
由（*），（**），得

，这与题设矛盾．                              15分
所以，在数列

中不存在三项

（其中

成等差数列）成等比数列．  16分

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列满足．（1）求数列的通项公式.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。