已知，点在函数的图像上，求证数列是等比数列；设，求及数列的通项．

题文

已知

，点

在函数

的图像上，（其中

）
（Ⅰ）求证数列

是等比数列；
（Ⅱ）设

，求

及数列

的通项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）首先由已知条件得数列

的递推关系，根据要证的目标，必须把递推关系变形为

和

的关系，两边取对数即证．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果求出数列

的通项公式，进而求出数列

的通项公式，
然后求出

 和

．
试题解析：（Ⅰ）

 点

在函数

的图像上，


 ，

 ，

，两边取对数得：


 即

，
所以数列

是公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

 ，

 


 

考点

据考高分专家说，试题“已知，点在函数的图像上，（其中）（Ⅰ）求.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。