已知数列满足：①；②对于任意正整数都有成立.求的值；求数列的通项公式；若，求数列的前项和.

题文

已知数列

满足：①

；②对于任意正整数

都有

成立.
（Ⅰ）求

的值；
（Ⅱ）求数列

的通项公式；
（Ⅲ）若

，求数列

的前

项和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

. （Ⅱ）数列

的通项公式

. （Ⅲ）

.

解析

（Ⅰ）将

为1代入②即得

.
（Ⅱ）令

即得

. 上述两小题注意把握对于任意正整数

都有

.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得

，
易得

分别为公比是4和2的等比数列，由等比数列求和公式可得.
试题解析：（Ⅰ）由②可得

，

                          2分
由①可得

.                                         3分
（Ⅱ）由②可得

，                                    6分
所以数列

的通项公式

.                           7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得

，
易得

分别为公比是4和2的等比数列，               8分
由等比数列求和公式可得

. 13分

项求和公式.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足：①；②对于任意正整数都有成.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。