题文
已知数列
的首项
其中
，
令集合
.
（Ⅰ）若
是数列
中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）当
时，求集合
中元素个数
的最大值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）27,9,3；8,9,3；6,2,3..（Ⅱ）见解析. （Ⅲ）集合
重元素个数
的最大值为21.
解析
（Ⅰ）依次代入写出27,9,3；8,9,3；6,2,3.
（Ⅱ）根据
及
须讨论
被3除余1，，
被3除余2,
被3除余0，等三种情况.
（Ⅲ）注意由已知递推关系推得数列
满足：
当
时，总有
成立，其中
.
因此应注意讨论当
时，数列
中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为
，由（Ⅰ）可得
或9，
由（Ⅱ）的证明过程即可知数列
的项满足：
，且当
是3的倍数时，若使
最小，需使
，
满足
最小的数列
中，
或7，且
，
得到数列
是首项为
或
的公比为3的等比数列，应用等比数列的通项公式即可得出结论.
解答本题的关键是注意“转化”成等比数列问题.
试题解析：（Ⅰ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. 3分
（Ⅱ）若
被3除余1，则由已知可得
,
；
若
被3除余2,则由已知可得
,
,
；
若
被3除余0，则由已知可得
,
；
所以
，
所以
所以，对于数列
中的任意一项
，“若
，则
”.
因为
，所以
.
所以数列
中必存在某一项
（否则会与上述结论矛盾！）
若
,则
；若
,则
,若
,则
,
由递推关系易得
. 8分
（Ⅲ）集合
中元素个数
的最大值为21.
由已知递推关系可推得数列
满足：
当
时，总有
成立，其中
.
下面考虑当
时，数列
中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为
，由（I）可得
或9，
由（Ⅱ）的证明过程可知数列
的项满足：
，且当
是3的倍数时，若使
最小，需使
，
所以，满足
最小的数列
中，
或7，且
，
所以
，所以数列
是首项为
或
的公比为3的等比数列，
所以
或
，即
或
，
因为
，所以，当
时，
的最大值是6，
所以
，所以集合
重元素个数
的最大值为21. 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的首项其中，令集合.（Ⅰ）若是数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
