题文
已知数列
满足
，
（
且
）．
（Ⅰ）求数列
的通项公式
；
（Ⅱ）令
，记数列
的前
项和为
，若
恒为一个与
无关的常数
，试求常数
和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
．
解析
（Ⅰ）求数列
的通项公式
，这是已知
型求
，可仿
来求
，由
，可⇒
，二式作差可得
，即
，再求得
即可判断数列
是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列
的通项公式
；（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，求得
，由等差数列的概念可判断
是以
为首项，以
为公差的等差数列，由
对任意正整数
恒成立，即恒为一个与n无关的常数λ可得到关于λ的方程组，解之即可．
试题解析：（Ⅰ）
由题
①
②
由①
②得：
，即
3分
当
时，
，
，
,
所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列
故
（
） 6分
（Ⅱ）
，
，
是以
为首项，以
为公差的等差数列， 8分
10分
恒为一个与
无关的常数
，
解之得：
，
． 12分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列满足，（且）．（Ⅰ）求数列的通项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
