题文
设数列
的前
项和为
，
（1）求
，
；
（2）设
，证明：数列
是等比数列；
（3）求数列
的前
项和为
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）证明见试题解析；（3）
．
解析
(1)只要把
中的
分别用1和2代，即可求出
，
；（2）已知
的问题解决方法，一般是把
换成
（或
）得
，两式相减，得出数列的递推关系，以便求解；（3）数列
可以看作是等差数列
与等比数列
对应项相乘得到的，其前
项和一般是用错位相减法求解．
，此式两边同乘以仅比
，得
，然后两式相减，把和转化为等比数列的和的问题．
试题解析：(1)由已知
，∴
，又
，∴
． 4分
（2）
，
，两式相减得
，
∴
，即
，
（常数），又
，
∴
是首项为2，公比为2的等比数列，
． 8分
（3）
，
，
相减得
，
∴
. 12分
考点
据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，（1）求，；（2）设，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
