已知数列满足(1)求的通项公式；(2)证明：.

题文

已知数列

满足


(1)求

的通项公式；
(2)证明：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

；(2)见解析.

解析

(1)根据所给的

将

拆为

，化简得到关系

，构造数列

，证明此数列是以

为首项，

为公比的等比数列，求得

 ，即得

 ；(2)根据所求的通项公式以及等比数列的前

项和公式求得



，那么就有



，由

是整数以及指数函数的性质可知

，所以

得证.
试题解析：(1)由

可得，

，即

   2分
∴

 ，        4分
由

得，

 ，            . 5分
∴数列

是以

为首项，

为公比的等比数列，      6分
∴

，∴

.            .7分
（2）证明：∵

       .9分


                   ..10分


                      . 11分
∴

，              .12分
∵

是正整数，∴

，

，     ..13分
∴

.              . 14分

项和公式；3.指数函数的性质

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足(1)求的通项公式；(2)证.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。