已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且，，成等差，求数列的通项公式；已知，记，若对于恒成立，求实数的取值范围.

题文

已知数列

为等比数列，其前

项和为

，已知

，且

，

，

成等差，
（Ⅰ）求数列

的通项公式；
（Ⅱ）已知

（

），记

，若

对于

恒成立，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

；（Ⅱ）

.

解析

（Ⅰ）本小题主要利用等比数列通项公式公式

和前

项和公式

求得数列的首项和公比，然后可以求得等比数列

的通项公式

；
（Ⅱ）本小题通过分析

可得求和需用错位相减求和的方法，然后代入到不等式中，根据函数的单调性可得

.
试题解析：（Ⅰ）设

的公比为

，

成等差，


，       1分


，得

，


或

（舍去），    3分
又

，

，


，       5分
（Ⅱ）

，                   6分











               10分
若

对于

恒成立，则

，


，

对

恒成立           12分
令

，


所以当

时，

，

为减函数，

       14分


                     15分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。