已知数列为等差数列，为其前项和，且求数列的通项公式；求证：数列是等比数列；

题文

已知数列

为等差数列，

为其前

项和，且


（1）求数列

的通项公式；（2）求证：数列

是等比数列； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列

的通项公式为

；（2）详见试题分析．

解析

（1）首先设数列

的首项为

，公差为

，由等差数列的通项公式及前

项和公式，列出

和

方程组，由这个方程组可以解得

和

，进而可以写出等差数列

的通项公式；（2）由（1），首先可得

，再列出

的表达式，利用等比数列的定义，只要能算出

为非零常数即可．
【结论】若数列

为等差数列，则数列

（

为不等于零的常数）为等比数列；反过来，若数列

是各项为正数的等比数列，则数列

（

且

，

为常数）为等差数列．
试题解析：（1）设数列

的首项为

，公差为

，由题意得：

，解得：

；
（2）由题意知：

数列

是首项为2，公比为4的等比数列．．．

项和公式；2．等比数列的定义域判断方法．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列为等差数列，为其前项和，且（1）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。