题文
数列
前
项和
，数列
满足
（
），
（1）求数列
的通项公式；
（2）求证：当
时，数列
为等比数列；
（3）在（2）的条件下，设数列
的前
项和为
，若数列
中只有
最小，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）详见解析；（3）
.
解析
（1）由
求解，注意
，若满足则不用分段函数，若不满足则
需要用分段函数表示；（2）要证明数列
是等比数列，需要证明
是常数，由条件只需要证明
即可；（3）数列
中只有
最小，可确定
且
，再证明数列
是递增数列，从而可以确定
的取值范围，.
试题解析：（1）
，
，
当
时
，也满足，
.
（2）
，
，
所以
，且
，
所以
是以
为首项、
为公比的等比数列；
（3）
；
因为数列
中只有
最小，所以
，解得
；
此时，
，于是，
为递增数列，
所以
时
、
时
，符合题意，综上
.
与
的关系，等比数列的性质，最值问题.
考点
据考高分专家说，试题“数列前项和，数列满足（），（1）求数列的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
