已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项和为，且.⑴证明：数列是等比数列，并写出通项公式；⑵若对恒成立，求的最小值；⑶若成等差数列，求正整数的值.

题文

已知各项均为正数的数列

的前

项和为

，数列

的前

项和为

，且

.
⑴证明：数列

是等比数列，并写出通项公式；
⑵若

对

恒成立，求

的最小值；
⑶若

成等差数列，求正整数

的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明见解析，

；（2）3；（3）

解析

（1）要证数列

是等比数列，可根据题设求出

，当然也可再求

，虽然得出的

成等比数列，但前面有限项成等比不能说明所有项都成等比，必须严格证明．一般方法是把已知式

中的

用

代换得到

，两式相减得

，这个式子中把

用

代换又得

，两式再相减，正好得出数列的前后项关系的递推关系

，正是等比数列的表现．（2）由题间

，对不等式

用分离参数法得

，求

的最小值就与求

的最大值（也只要能是取值范围）联系起来了．（3）只能由

成等差数列列出唯一的等式，这个等式是关于

的二元方程，它属于不定方程，有无数解，只是由于

都是正整数，利用正整数的性质可得出具体的解．
试题解析：（1）当n=1时，

；当n=2时，


当n

3时，有

得：
化简得：

3分
又

∴


∴

是1为首项，

为公比的等比数列


6分
（2）


∴

∴

11分
（3）若三项成等差，则有




，右边为大于2的奇数，左边为偶数或1，不成立
∴

16分

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。