已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令求数列的前项和；当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.

题文

已知

，数列

是首项为

，公比也为

的等比数列，令


（Ⅰ）求数列

的前

项和

；
（Ⅱ）当数列

中的每一项总小于它后面的项时，求

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，利用等比数列的通项公式先写出数列

的通项公式，利用对数的性质得到

的通项公式，从而列出

，它符合错位相减法，利用错位相减法求和；第二问，有题意得

，讨论

的正负，转化为恒成立问题，求出

.
试题解析：（Ⅰ）由题意知

，

.
∴

.


.
以上两式相减得





.
∵

，∴

.
（Ⅱ）由



.
由题意知

，而

，
∴

. ①
（1）若

，则

，

，故

时，不等式①成立；
（2）若

，则

，
不等式①成立




恒成立


.
综合（1）、（2）得

的取值范围为

.

考点

据考高分专家说，试题“已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。