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已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

高中数学题库更新时间：2026-04-12 19:24:26 发布时间：1666天前高中归档最新发布模块sitemap 名妆网法律咨询聚返吧英语巴士网伯小乐网商动力

题文

已知等比数列

已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

的公比为

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，

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是

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的前

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项和．
（1）若

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，

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，求

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的值；
（2）若

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，

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，

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有无最值？并说明理由；
（3）设

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，若首项

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和

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都是正整数，

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满足不等式：

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，且对于任意正整数

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有

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成立，问：这样的数列

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有几个？题型：未知难度：其他题型

答案

（1）

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;（2）

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有最大值为

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，最小值为

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;（3）

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个．

解析

（1）根据等比数列前

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项和公式

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，可见要对

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分类讨论，当

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时，

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，

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，

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，从而不难求出

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;当

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时，

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，

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，

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，即可利用根据定义求出

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;（2）根据题意可求出数列的前

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项和

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，要求出

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的最值，可见要分

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和

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两种情况进行讨论，当

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时利用单调性即可求出

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的最值情况，当

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时，由于

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将随着

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的奇偶性正负相间，故又要再次以

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的奇偶数进行讨论，再利用各自的单调性即可求出

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的最值; （3）首先由含有

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的绝对值不等式可求出

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的范围，再用

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表示出

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，由单调性不难求出

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的最小值

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，即

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，故

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并分别代入进行，依据

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就可求出

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的范围，最后结合

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是正整数，从而确定出

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的个数．
试题解析：（1）当

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时，

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，

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，

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2分
当

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时，

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，

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，

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4分
所以

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（可以写成

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；
（2）若

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，

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，则

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，
当

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时，

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，所以

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随

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的增大而增大，
而

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，此时

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有最小值为1，但无最大值． 6分
当

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时，
①

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时，

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，所以

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随

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的增大而增大，
即

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是偶数时，

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，即：

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； 8分
②

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时，

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，
即：

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，所以

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随

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的增大而减小，
即

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是奇数时，

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，即：

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；
由①②得：

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，

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有最大值为

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，最小值为

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． 10分
（3）由

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得

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，所以

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， 11分

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，

已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

随着

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的增大而增大，故

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，
即：

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，

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，得

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． 13分
当

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时，

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，
又

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，得共有

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个； 15分
当

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时，

已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

又

已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

，得共有

已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

个； 17分
由此得：共有

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个． 18分

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列的公比为，是的前项和．（1）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1，则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1，则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较：

已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？并说明理由；设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。

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